Номер 21, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 21, страница 18.

Условие.

2.21. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (10; -8; -1)$, $C (-2; 4; 4)$ и $D (11; -20; 10)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $ABCD$, зная координаты трех других, можно использовать свойство векторов. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, а значит, векторы, их представляющие, равны. Таким образом, справедливо равенство векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть искомые координаты вершины $B$ будут $(x; y; z)$.

Даны координаты вершин: $A(10; -8; -1)$, $C(-2; 4; 4)$ и $D(11; -20; 10)$.

Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат его конца и начала. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x - x_A; y - y_A; z - z_A) = (x - 10; y - (-8); z - (-1)) = (x - 10; y + 8; z + 1)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-2 - 11; 4 - (-20); 4 - 10) = (-13; 24; -6)$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, их соответствующие координаты также равны. Приравняем их и получим систему уравнений:

$x - 10 = -13$
$y + 8 = 24$
$z + 1 = -6$

Решим данную систему уравнений, чтобы найти $x$, $y$ и $z$:

$x = -13 + 10 = -3$
$y = 24 - 8 = 16$
$z = -6 - 1 = -7$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(-3; 16; -7)$.

Ответ: $B(-3; 16; -7)$.