Номер 20, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 20, страница 18.

Условие.

2.20. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-4; 2; 5)$, $B (-6; 3; 0)$, $C (12; -8; 1)$ и $D (14; -9; 6)$ является параллелограммом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, достаточно доказать, что векторы его противоположных сторон равны. Проверим равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(-4; 2; 5)$ и концом в точке $B(-6; 3; 0)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-6 - (-4); 3 - 2; 0 - 5) = (-2; 1; -5)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$ с началом в точке $D(14; -9; 6)$ и концом в точке $C(12; -8; 1)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (12 - 14; -8 - (-9); 1 - 6) = (-2; 1; -5)$.

Поскольку соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то и сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как было доказано, что векторы его противоположных сторон равны: $\vec{AB} = \vec{DC} = (-2; 1; -5)$.