Номер 16, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 16, страница 17.

Условие.

2.16. При каких значениях $k$ векторы $a (4; k + 3; 10)$ и $b (k; 4; k + 9)$ имеют равные модули?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Даны векторы $\vec{a}(4; k+3; 10)$ и $\vec{b}(k; 4; k+9)$.

По условию, модули векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Равенство модулей равносильно равенству их квадратов: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = 4^2 + (k+3)^2 + 10^2 = 16 + (k^2 + 6k + 9) + 100 = k^2 + 6k + 125$.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = k^2 + 4^2 + (k+9)^2 = k^2 + 16 + (k^2 + 18k + 81) = 2k^2 + 18k + 97$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$(2k^2 - k^2) + (18k - 6k) + (97 - 125) = 0$

$k^2 + 12k - 28 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 16}{2}$.

$k_1 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$k_2 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.

Ответ: $k = -14$ или $k = 2$.