Номер 11, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 11, страница 17.

Условие.

2.11. Даны точки A (-2; 3; 5), B (1; 2; 4), C (4; -3; 6). Найдите координаты точки D такой, что $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся определением координат вектора и условием равенства векторов.

Пусть искомая точка D имеет координаты $(x_D; y_D; z_D)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.
Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(-2; 3; 5)$ и концом в точке $B(1; 2; 4)$ координаты будут следующими:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - (-2); 2 - 3; 4 - 5) = (3; -1; -1)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{CD}$.
Для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(4; -3; 6)$ и концом в точке $D(x_D; y_D; z_D)$ координаты будут:
$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (x_D - 4; y_D - (-3); z_D - 6) = (x_D - 4; y_D + 3; z_D - 6)$.

3. Приравняем координаты векторов.
По условию задачи, $\vec{AB} = \vec{CD}$. Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} x_D - 4 = 3 \\ y_D + 3 = -1 \\ z_D - 6 = -1 \end{cases} $

4. Найдем координаты точки D.
Решим полученную систему уравнений:
$x_D = 3 + 4 = 7$
$y_D = -1 - 3 = -4$
$z_D = -1 + 6 = 5$
Следовательно, точка D имеет координаты (7; -4; 5).

Ответ: D(7; -4; 5)