Номер 6, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 17.

Условие.

2.6. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отложите:

1) от точки A вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$;

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи начертим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ находится внизу, а основание $A_1B_1C_1D_1$ — вверху, причём точка $A_1$ находится над $A$, $B_1$ над $B$ и так далее. Решение каждого пункта основано на определении равенства векторов: два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и указывают в одну сторону) и имеют одинаковую длину.

Если нам нужно отложить от точки $P$ вектор, равный вектору $\vec{MN}$, это означает, что нам нужно найти такую точку $Q$, чтобы вектор $\vec{PQ}$ был равен вектору $\vec{MN}$. По определению, это условие выполняется, если четырёхугольник $MNQP$ является параллелограммом.

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$

Нужно построить вектор, начинающийся в точке $A$ и равный вектору $\vec{A_1A}$. Пусть конец этого вектора — точка $P$. Тогда искомый вектор — это $\vec{AP}$, и по условию должно выполняться равенство $\vec{AP} = \vec{A_1A}$.

Вектор $\vec{A_1A}$ направлен вдоль бокового ребра куба из вершины $A_1$ в вершину $A$. Его направление — "вниз", перпендикулярно основанию $ABCD$. Длина этого вектора равна длине ребра куба.

Так как все боковые рёбра куба параллельны и равны, то $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D}$. Также можно заметить, что вектор $\vec{A_1A}$ противоположен вектору $\vec{AA_1}$, то есть $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

Таким образом, искомый вектор $\vec{AP}$ должен быть равен вектору $-\vec{AA_1}$ и начинаться в точке $A$. Это означает, что точка $P$ лежит на прямой $A_1A$ таким образом, что $A$ является серединой отрезка $A_1P$. Точка $P$ не является вершиной данного куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AP}$ такой, что $\vec{AP} = \vec{A_1A}$ (или $\vec{AP} = -\vec{AA_1}$).

2) от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$

Нужно построить вектор, начинающийся в точке $C$ и равный вектору $\vec{A_1C_1}$. Пусть конец этого вектора — точка $Q$. Тогда искомый вектор — это $\vec{CQ}$, и по условию должно выполняться равенство $\vec{CQ} = \vec{A_1C_1}$.

Вектор $\vec{A_1C_1}$ — это диагональ верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Так как грани куба являются равными квадратами и плоскости граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, то диагональ нижней грани $\vec{AC}$ равна вектору $\vec{A_1C_1}$. То есть, $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.

Следовательно, задача сводится к построению от точки $C$ вектора, равного вектору $\vec{AC}$. Вектор $\vec{CQ}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{AC}$ и иметь ту же длину. Это означает, что точка $Q$ лежит на продолжении отрезка $AC$ за точку $C$, причём $AC = CQ$. Точка $C$ является серединой отрезка $AQ$. Точка $Q$ не является вершиной куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{CQ}$ такой, что $\vec{CQ} = \vec{AC}$ (поскольку $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$).

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$

Нужно построить вектор, начинающийся в точке $D_1$ и равный вектору $\vec{B_1D}$. Пусть конец этого вектора — точка $R$. Тогда искомый вектор — это $\vec{D_1R}$, и по условию должно выполняться равенство $\vec{D_1R} = \vec{B_1D}$.

Вектор $\vec{B_1D}$ — это одна из четырёх пространственных диагоналей куба. Он соединяет вершину $B_1$ верхнего основания с вершиной $D$ нижнего основания.

Условие $\vec{D_1R} = \vec{B_1D}$ означает, что мы должны найти такую точку $R$, чтобы четырёхугольник $B_1DRD_1$ был параллелограммом. Построить такую точку можно, например, применив к точке $D_1$ параллельный перенос на вектор $\vec{B_1D}$. Точка $R$ в общем случае не является вершиной куба.

Вектор $\vec{B_1D}$ можно разложить по рёбрам куба: $\vec{B_1D} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1D_1} + \vec{D_1D}$.Искомый вектор $\vec{D_1R}$ будет равен этому же выражению: $\vec{D_1R} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1D_1} + \vec{D_1D}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{D_1R}$ такой, что $\vec{D_1R} = \vec{B_1D}$. Геометрически точка $R$ является четвёртой вершиной параллелограмма $B_1DRD_1$.