Номер 12, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 12, страница 16.

Условие.

12. Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны его координаты, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат. Этот принцип является прямым следствием теоремы Пифагора, обобщенной для пространств различной размерности.

Для вектора на плоскости

Если вектор $\vec{a}$ задан на плоскости координатами $(x; y)$, его модуль $|\vec{a}|$ (или длина) вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Геометрически это соответствует нахождению длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются проекции вектора на оси координат.
Пример: Найти модуль вектора $\vec{c} = (3; -4)$.
$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: Модуль вектора на плоскости с координатами $(x; y)$ равен $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Для вектора в пространстве

Если вектор $\vec{b}$ задан в трехмерном пространстве координатами $(x; y; z)$, его модуль $|\vec{b}|$ вычисляется аналогично, но с учетом третьей координаты:
$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Геометрически эта формула соответствует длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны абсолютным величинам координат вектора.
Пример: Найти модуль вектора $\vec{d} = (6; 2; -3)$.
$|\vec{d}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: Модуль вектора в пространстве с координатами $(x; y; z)$ равен $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Общий случай

В общем случае для вектора $\vec{v}$ в n-мерном пространстве с координатами $(x_1; x_2; \dots; x_n)$, его модуль $|\vec{v}|$ находится по формуле:
$|\vec{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$
Таким образом, алгоритм нахождения модуля вектора по его координатам универсален:
1. Каждую координату вектора возвести в квадрат.
2. Сложить все полученные значения.
3. Извлечь квадратный корень из полученной суммы.
Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.