Номер 6, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 16.

Условие.

6. Какие два ненулевых вектора называют равными?

Решение 1.

Решение 3.

Два ненулевых вектора называют равными, если они удовлетворяют двум ключевым условиям: они должны быть сонаправлены и иметь одинаковую длину. Рассмотрим эти условия подробнее.

Условие 1: Сонаправленность

Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону.

• Коллинеарность означает, что векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Одинаковое направление означает, что если отложить эти векторы от одной точки, они будут указывать в одном направлении.

Сонаправленность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Условие 2: Равенство длин (модулей)

Длина (или модуль) вектора — это числовое значение, характеризующее его "размер". Длина вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Для того чтобы векторы были равны, их длины должны быть одинаковыми.
$|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Формальное определение

Таким образом, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны ($\vec{a} = \vec{b}$) тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны:
$\vec{a} = \vec{b} \iff (\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} \text{ и } |\vec{a}| = |\vec{b}|)$

Геометрически это означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса, не изменяя его длины и направления.

Равенство векторов в координатной форме

Если векторы заданы своими координатами, например, $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$, то они равны в том и только в том случае, если их соответствующие координаты равны:
$\vec{a} = \vec{b} \iff x_1 = x_2 \text{ и } y_1 = y_2$

Ответ: Два ненулевых вектора называют равными, если они сонаправлены (то есть коллинеарны и имеют одинаковое направление) и их длины равны.