Номер 39, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 39, страница 11.

Условие.

1.39. По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 9 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. По условию, их длины равны $16$ см и $10$ см соответственно. Хорды расположены по разные стороны от центра, а расстояние между ними составляет $9$ см.

Проведем из центра $O$ перпендикуляр $MN$ к обеим хордам, где точка $M$ лежит на хорде $AB$, а точка $N$ — на хорде $CD$. Длина отрезка $MN$ и есть расстояние между хордами, то есть $MN = 9$ см.

По свойству окружности, перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OMA$ и $\triangle OND$. В этих треугольниках гипотенузы $OA$ и $OD$ являются радиусами окружности, то есть $OA = OD = R$.

Обозначим длину отрезка $OM$ как $x$. Поскольку хорды лежат по разные стороны от центра, расстояние между ними $MN$ равно сумме расстояний от центра до каждой хорды: $MN = OM + ON$. Отсюда $ON = MN - OM = 9 - x$.

Применим теорему Пифагора для обоих треугольников:
1) Для $\triangle OMA$: $R^2 = OM^2 + AM^2 \implies R^2 = x^2 + 8^2$
2) Для $\triangle OND$: $R^2 = ON^2 + ND^2 \implies R^2 = (9 - x)^2 + 5^2$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($R^2$), мы можем приравнять их правые части:
$x^2 + 8^2 = (9 - x)^2 + 5^2$
$x^2 + 64 = 81 - 18x + x^2 + 25$
$x^2 + 64 = 106 - 18x + x^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:
$64 = 106 - 18x$
$18x = 106 - 64$
$18x = 42$
$x = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$ см.

Теперь, зная $x$, найдем радиус $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$R^2 = x^2 + 8^2 = (\frac{7}{3})^2 + 64 = \frac{49}{9} + 64$
Приведем к общему знаменателю:
$R^2 = \frac{49}{9} + \frac{64 \cdot 9}{9} = \frac{49 + 576}{9} = \frac{625}{9}$
Теперь найдем $R$:
$R = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{9}} = \frac{25}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.