Номер 36, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 36, страница 11.

Условие.

1.36. Точки $D(-1; 2; 4)$, $E(5; -2; 1)$, $F(3; -3; 5)$ являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты A($x_A, y_A, z_A$), B($x_B, y_B, z_B$) и C($x_C, y_C, z_C$). По условию, точки D(-1; 2; 4), E(5; -2; 1) и F(3; -3; 5) являются серединами его сторон.

Допустим, что D — середина стороны AB, E — середина стороны BC, а F — середина стороны AC. Координаты середины отрезка вычисляются по формуле как полусумма соответствующих координат его концов. Используя эту формулу, составим систему уравнений для каждой координаты.

Для точки D, середины AB:
$\frac{x_A + x_B}{2} = -1 \implies x_A + x_B = -2$
$\frac{y_A + y_B}{2} = 2 \implies y_A + y_B = 4$
$\frac{z_A + z_B}{2} = 4 \implies z_A + z_B = 8$

Для точки E, середины BC:
$\frac{x_B + x_C}{2} = 5 \implies x_B + x_C = 10$
$\frac{y_B + y_C}{2} = -2 \implies y_B + y_C = -4$
$\frac{z_B + z_C}{2} = 1 \implies z_B + z_C = 2$

Для точки F, середины AC:
$\frac{x_A + x_C}{2} = 3 \implies x_A + x_C = 6$
$\frac{y_A + y_C}{2} = -3 \implies y_A + y_C = -6$
$\frac{z_A + z_C}{2} = 5 \implies z_A + z_C = 10$

Мы получили три независимые системы линейных уравнений для координат x, y и z. Решим их последовательно.

1. Нахождение x-координат (x_A, x_B, x_C):
Получаем систему:
$\begin{cases} x_A + x_B = -2 \\ x_B + x_C = 10 \\ x_A + x_C = 6 \end{cases}$
Сложим все три уравнения: $(x_A + x_B) + (x_B + x_C) + (x_A + x_C) = -2 + 10 + 6$, что приводит к $2x_A + 2x_B + 2x_C = 14$, или $x_A + x_B + x_C = 7$.
Теперь найдем каждую координату, вычитая из полученного уравнения поочередно каждое из уравнений системы:
$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 7 - (-2) = 9$
$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 7 - 10 = -3$
$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 7 - 6 = 1$

2. Нахождение y-координат (y_A, y_B, y_C):
Получаем систему:
$\begin{cases} y_A + y_B = 4 \\ y_B + y_C = -4 \\ y_A + y_C = -6 \end{cases}$
Сложив уравнения, получаем: $(y_A + y_B) + (y_B + y_C) + (y_A + y_C) = 4 - 4 - 6$, что приводит к $2y_A + 2y_B + 2y_C = -6$, или $y_A + y_B + y_C = -3$.
Вычитая исходные уравнения, находим:
$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = -3 - 4 = -7$
$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = -3 - (-4) = 1$
$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = -3 - (-6) = 3$

3. Нахождение z-координат (z_A, z_B, z_C):
Получаем систему:
$\begin{cases} z_A + z_B = 8 \\ z_B + z_C = 2 \\ z_A + z_C = 10 \end{cases}$
Сложив уравнения, получаем: $(z_A + z_B) + (z_B + z_C) + (z_A + z_C) = 8 + 2 + 10$, что приводит к $2z_A + 2z_B + 2z_C = 20$, или $z_A + z_B + z_C = 10$.
Вычитая исходные уравнения, находим:
$z_C = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_B) = 10 - 8 = 2$
$z_A = (z_A + z_B + z_C) - (z_B + z_C) = 10 - 2 = 8$
$z_B = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_C) = 10 - 10 = 0$

Объединяя найденные координаты, получаем вершины треугольника: A(-3; 1; 8), B(1; 3; 0), C(9; -7; 2).

Ответ: Координаты вершин треугольника: (-3; 1; 8), (1; 3; 0), (9; -7; 2).