Номер 35, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 35, страница 11.

Условие.

1.35. Найдите точку, расстояние от которой до плоскости $xy$ равно 2 и равноудалённую от точек $A (1; 0; 0)$, $B (0; 1; 0)$ и $C (0; 0; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y; z)$.

По первому условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $xy$ равно 2. Расстояние от точки $(x; y; z)$ до плоскости $xy$ (уравнение которой $z=0$) вычисляется по формуле $|z|$. Таким образом, мы получаем первое условие:
$|z| = 2$
Это означает, что координата $z$ может быть равна 2 или -2.

По второму условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ и $C(0; 0; 1)$. Это означает, что расстояния $MA$, $MB$ и $MC$ равны. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний:
$MA^2 = MB^2 = MC^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
Запишем выражения для квадратов расстояний от точки $M(x;y;z)$ до точек A, B и C:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2 + z^2$
$MB^2 = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = x^2 + (y - 1)^2 + z^2$
$MC^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = x^2 + y^2 + (z - 1)^2$

Теперь составим систему уравнений из условия $MA^2 = MB^2 = MC^2$.
Приравняем $MA^2$ и $MB^2$:
$(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - 1)^2 + z^2$
Раскроем скобки:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2$
Сокращая одинаковые слагаемые в обеих частях ($x^2, y^2, z^2, 1$), получаем:
$-2x = -2y$
$x = y$

Теперь приравняем $MB^2$ и $MC^2$:
$x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - 1)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1$
Сокращая одинаковые слагаемые ($x^2, y^2, z^2, 1$), получаем:
$-2y = -2z$
$y = z$

Из полученных равенств $x = y$ и $y = z$ следует, что все три координаты искомой точки равны: $x = y = z$.

Теперь объединим этот результат с первым условием $|z| = 2$. Так как $x = y = z$, то и $|x| = 2$, и $|y| = 2$. Это дает нам два возможных набора координат:
1. Если $z = 2$, то $x = 2$ и $y = 2$. Координаты точки: $(2; 2; 2)$.
2. Если $z = -2$, то $x = -2$ и $y = -2$. Координаты точки: $(-2; -2; -2)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(2; 2; 2)$ и $(-2; -2; -2)$.