Номер 28, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 10.

Условие.

1.28. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от начала координат и точки M $(3; -6; 9)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $A$, принадлежащая оси аппликат (оси $Oz$), имеет координаты $(0; 0; z)$. Начало координат — это точка $O(0; 0; 0)$. Дана также точка $M(3; -6; 9)$.

По условию задачи точка $A$ равноудалена от точек $O$ и $M$, это означает, что расстояние $AO$ равно расстоянию $AM$, то есть $AO = AM$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее приравнять квадраты этих расстояний: $AO^2 = AM^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $A(0; 0; z)$ до начала координат $O(0; 0; 0)$: $AO^2 = (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (z - 0)^2 = 0^2 + 0^2 + z^2 = z^2$.

Теперь найдем квадрат расстояния от точки $A(0; 0; z)$ до точки $M(3; -6; 9)$: $AM^2 = (3 - 0)^2 + (-6 - 0)^2 + (9 - z)^2 = 3^2 + (-6)^2 + (9 - z)^2 = 9 + 36 + (9 - z)^2 = 45 + (9 - z)^2$.

Приравняем полученные выражения для квадратов расстояний и решим уравнение относительно $z$: $z^2 = 45 + (9 - z)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $z^2 = 45 + (81 - 18z + z^2)$ $z^2 = 45 + 81 - 18z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения: $0 = 126 - 18z$

Перенесем $18z$ в левую часть: $18z = 126$

Найдем $z$: $z = \frac{126}{18} = 7$

Таким образом, искомая точка на оси аппликат имеет координаты $(0; 0; 7)$.

Ответ: $(0; 0; 7)$