Номер 26, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 10.

Условие.

1.26. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек A $(2; 3; 1)$ и B $(4; 1; -5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $M$ принадлежит оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что ее абсцисса ($x$) и аппликата ($z$) равны нулю. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать в виде $(0; y; 0)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 3; 1)$ и $B(4; 1; -5)$. Это значит, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$, то есть $MA = MB$.

Чтобы избежать извлечения квадратных корней, будем использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(0; y; 0)$ и $A(2; 3; 1)$:$MA^2 = (2 - 0)^2 + (3 - y)^2 + (1 - 0)^2 = 2^2 + (3 - y)^2 + 1^2 = 4 + (9 - 6y + y^2) + 1 = y^2 - 6y + 14$.

Теперь вычислим квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(0; y; 0)$ и $B(4; 1; -5)$:$MB^2 = (4 - 0)^2 + (1 - y)^2 + (-5 - 0)^2 = 4^2 + (1 - y)^2 + (-5)^2 = 16 + (1 - 2y + y^2) + 25 = y^2 - 2y + 42$.

Приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$:$y^2 - 6y + 14 = y^2 - 2y + 42$.

Решим это уравнение относительно $y$:
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-6y + 14 = -2y + 42$
Перенесем слагаемые, содержащие $y$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-6y + 2y = 42 - 14$
$-4y = 28$
$y = \frac{28}{-4}$
$y = -7$.

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -7; 0)$.

Ответ: $(0; -7; 0)$.