Номер 33, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 33, страница 11.

Условие.

1.33. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (4; 2; 10)$, $B (10; -2; 8)$, $C (4; -4; 4)$ и $D (-2; 0; 6)$ является ромбом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо доказать, что все его четыре стороны равны по длине. Для этого найдем длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Даны вершины четырехугольника: A(4; 2; 10), B(10; -2; 8), C(4; -4; 4) и D(-2; 0; 6).

1. Вычислим длину стороны AB:

$|AB| = \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (8 - 10)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

2. Вычислим длину стороны BC:

$|BC| = \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 - (-2))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

3. Вычислим длину стороны CD:

$|CD| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (0 - (-4))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

4. Вычислим длину стороны DA:

$|DA| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

Так как длины всех сторон четырехугольника равны между собой:

$|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{56}$

следовательно, по определению, четырехугольник ABCD является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все стороны четырехугольника ABCD равны $\sqrt{56}$.