Номер 30, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 30, страница 10.

Условие.

1.30. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$, делящие его на три равные части, точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-14; 5; -8)$, $D (7; -7; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Согласно условию, на отрезке AB отмечены точки C и D, которые делят его на три равные части. Точка C лежит между точками A и D, значит, порядок точек на прямой следующий: A, C, D, B. Из этого следует, что отрезки AC, CD и DB равны между собой: $AC = CD = DB$.

Таким образом, точка D делит отрезок AB в отношении $AD : DB$. Поскольку $AD = AC + CD$ и $AC = CD = DB$, то отношение равно $(CD + CD) : DB = 2 \cdot DB : DB = 2:1$.

Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, можно найти с помощью формулы деления отрезка. Если точка $D(x_D; y_D; z_D)$ делит отрезок, заданный точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, в отношении $\lambda = m:n = 2:1$, то ее координаты вычисляются так:
$x_D = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n} = \frac{1 \cdot x_A + 2 \cdot x_B}{1+2} = \frac{x_A + 2x_B}{3}$
$y_D = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n} = \frac{1 \cdot y_A + 2 \cdot y_B}{1+2} = \frac{y_A + 2y_B}{3}$
$z_D = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_B}{m+n} = \frac{1 \cdot z_A + 2 \cdot z_B}{1+2} = \frac{z_A + 2z_B}{3}$

Выразим из этих формул координаты искомой точки B:
$3x_D = x_A + 2x_B \implies 2x_B = 3x_D - x_A \implies x_B = \frac{3x_D - x_A}{2}$
$3y_D = y_A + 2y_B \implies 2y_B = 3y_D - y_A \implies y_B = \frac{3y_D - y_A}{2}$
$3z_D = z_A + 2z_B \implies 2z_B = 3z_D - z_A \implies z_B = \frac{3z_D - z_A}{2}$

Теперь подставим известные координаты точек $A(-14; 5; -8)$ и $D(7; -7; 2)$ в полученные формулы для вычисления координат точки B:
$x_B = \frac{3 \cdot 7 - (-14)}{2} = \frac{21 + 14}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$
$y_B = \frac{3 \cdot (-7) - 5}{2} = \frac{-21 - 5}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
$z_B = \frac{3 \cdot 2 - (-8)}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Таким образом, координаты точки B: $(17.5; -13; 7)$.

Ответ: $B(17.5; -13; 7)$.