Номер 24, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 24, страница 10.

Условие.

1.24. Расстояние между точками $A (1; y; 3)$ и $B (3; -6; 5)$ равно $2\sqrt{6}$. Найдите значение $y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения значения y воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние d между точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

В нашем случае даны точки $A(1; y; 3)$ и $B(3; -6; 5)$, а расстояние между ними $d = 2\sqrt{6}$. Подставим эти значения в формулу:

$2\sqrt{6} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-6 - y)^2 + (5 - 3)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 + (-6 - y)^2 + 2^2}$

$2\sqrt{6} = \sqrt{4 + (-(y + 6))^2 + 4}$

$2\sqrt{6} = \sqrt{8 + (y + 6)^2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{6})^2 = (\sqrt{8 + (y + 6)^2})^2$

$4 \cdot 6 = 8 + (y + 6)^2$

$24 = 8 + (y + 6)^2$

Теперь выразим $(y + 6)^2$:

$(y + 6)^2 = 24 - 8$

$(y + 6)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$y + 6 = 4$ или $y + 6 = -4$

Решим каждое уравнение относительно y:

1) $y + 6 = 4 \implies y = 4 - 6 \implies y = -2$

2) $y + 6 = -4 \implies y = -4 - 6 \implies y = -10$

Таким образом, существуют два возможных значения для y.

Ответ: $y = -2$ или $y = -10$.