Номер 27, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 10.

Условие.

1.27. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки A (-1; 2; 4) и плоскости yz.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка, принадлежащая оси абсцисс (оси $Ox$), имеет координаты $M(x; 0; 0)$.

По условию задачи, эта точка равноудалена от точки $A(-1; 2; 4)$ и от плоскости $yz$. Это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $M$ до плоскости $yz$.

1. Расстояние от точки $M(x; 0; 0)$ до точки $A(-1; 2; 4)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d(M, A) = \sqrt{(-1 - x)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + 4 + 16} = \sqrt{(x+1)^2 + 20}$.

2. Плоскость $yz$ задается уравнением $x=0$. Расстояние от точки $M(x; 0; 0)$ до плоскости $yz$ равно модулю её абсциссы: $d(M, yz) = |x|$.

3. Приравняем эти два расстояния: $\sqrt{(x+1)^2 + 20} = |x|$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это преобразование является равносильным. $(\sqrt{(x+1)^2 + 20})^2 = (|x|)^2$ $(x+1)^2 + 20 = x^2$

Раскроем скобки и упростим выражение: $x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2$ $x^2 + 2x + 21 = x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $2x + 21 = 0$ $2x = -21$ $x = -21/2 = -10.5$

Следовательно, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(-10.5; 0; 0)$.

Ответ: $(-10.5; 0; 0)$.