Номер 32, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 32, страница 11.

Условие.

1.32. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (-2; 3; -1)$, $B (-2; 7; -6)$, $C (-1; 7; -6)$ и $D (-1; 3; -1)$ является прямоугольником.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что это параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол. Для этого воспользуемся векторным методом.

Даны координаты вершин:

• A(-2; 3; -1)
• B(-2; 7; -6)
• C(-1; 7; -6)
• D(-1; 3; -1)

1. Докажем, что ABCD — параллелограмм

Четырёхугольник является параллелограммом, если векторы, образующие его противоположные стороны, равны. Найдём координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Координаты вектора находятся по формуле $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$.

$\vec{AB} = (-2 - (-2); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

$\vec{DC} = C - D = (-1 - (-1); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$), то их длины равны и они параллельны. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

2. Докажем, что у параллелограмма ABCD есть прямой угол

Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно, чтобы один из его углов был прямым. Проверим угол между смежными сторонами, например, угол A. Этот угол будет прямым, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Найдём координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-1 - (-2); 3 - 3; -1 - (-1)) = (1; 0; 0)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = (0 \cdot 1) + (4 \cdot 0) + (-5 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны, а значит угол $\angle DAB$ равен $90^\circ$.

Поскольку ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.