Номер 34, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 34, страница 11.

Условие.

1.34. Найдите точку, принадлежащую плоскости $yz$ и равноудалённую от точек $A (2; 1; -3)$, $B (3; 2; -2)$ и $C (4; -3; -1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$.По условию, точка $M$ принадлежит плоскости $yz$. Это означает, что ее координата $x$ равна нулю. Таким образом, координаты точки $M$ имеют вид $(0, y, z)$.

Также по условию точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 1; -3)$, $B(3; 2; -2)$ и $C(4; -3; -1)$. Это значит, что расстояния от $M$ до $A$, $B$ и $C$ равны: $|MA| = |MB| = |MC|$.Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2 = |MC|^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Вычислим квадраты расстояний от точки $M(0, y, z)$ до точек $A$, $B$ и $C$:
$|MA|^2 = (0 - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-3))^2 = 4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2$
$|MB|^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-2))^2 = 9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2$
$|MC|^2 = (0 - 4)^2 + (y - (-3))^2 + (z - (-1))^2 = 16 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2$

Теперь составим систему уравнений, приравняв квадраты расстояний.
1) Приравняем $|MA|^2$ и $|MB|^2$:
$4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2$
Раскроем скобки:
$4 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 6z + 9) = 9 + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 4z + 4)$
$y^2 + z^2 - 2y + 6z + 14 = y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17$
Приведем подобные слагаемые:
$-2y + 6z + 14 = -4y + 4z + 17$
$2y + 2z = 3$

2) Приравняем $|MB|^2$ и $|MC|^2$:
$9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 16 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2$
Раскроем скобки:
$9 + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 4z + 4) = 16 + (y^2 + 6y + 9) + (z^2 + 2z + 1)$
$y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17 = y^2 + z^2 + 6y + 2z + 26$
Приведем подобные слагаемые:
$-4y + 4z + 17 = 6y + 2z + 26$
$-10y + 2z = 9$

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y$ и $z$:
$ \begin{cases} 2y + 2z = 3 \\ -10y + 2z = 9 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(2y + 2z) - (-10y + 2z) = 3 - 9$
$12y = -6$
$y = - \frac{6}{12} = - \frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $z$:
$2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2z = 3$
$-1 + 2z = 3$
$2z = 4$
$z = 2$

Таким образом, искомая точка $M$ имеет координаты $(0, -1/2, 2)$.
Ответ: $(0; -1/2; 2)$.