Номер 37, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 37, страница 11.

Условие.

1.37. Известны координаты четырёх вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$, $A_1(4; 2; 0)$. Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения координат оставшихся вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся его свойствами. Известны координаты вершин $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$ и $A_1(4; 2; 0)$. Необходимо найти координаты вершин $C, B_1, C_1, D_1$.

Вершина C

Основание $ABCD$ является параллелограммом. Для любого параллелограмма $ABCD$ справедливо векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. В координатах это соответствует равенству $D - A = C - B$. Отсюда можно выразить координаты вершины $C$: $C = B + D - A$.

Вычислим координаты вершины $C(x_C, y_C, z_C)$:

$x_C = x_B + x_D - x_A = 1 + 6 - 2 = 5$

$y_C = y_B + y_D - y_A = 3 + 0 - (-1) = 4$

$z_C = z_B + z_D - z_A = 4 + 1 - 1 = 4$

Ответ: $C(5; 4; 4)$.

Для нахождения координат вершин $B_1, D_1, C_1$ найдем сначала вектор смещения, соответствующий боковому ребру.

В параллелепипеде боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны и равны. Это означает, что векторы, им соответствующие, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Этот вектор определяет параллельный перенос, который отображает нижнее основание $ABCD$ на верхнее $A_1B_1C_1D_1$.

Найдем координаты вектора смещения $\vec{v} = \vec{AA_1}$:

$\vec{v} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4 - 2; 2 - (-1); 0 - 1) = (2; 3; -1)$.

Теперь найдем координаты оставшихся вершин, прибавив к координатам вершин нижнего основания $B, D, C$ координаты вектора $\vec{v}$.

Вершина $B_1$

Координаты $B_1$ получаются смещением точки $B$ на вектор $\vec{v}$: $B_1 = B + \vec{v}$.

$x_{B_1} = x_B + v_x = 1 + 2 = 3$

$y_{B_1} = y_B + v_y = 3 + 3 = 6$

$z_{B_1} = z_B + v_z = 4 + (-1) = 3$

Ответ: $B_1(3; 6; 3)$.

Вершина $D_1$

Координаты $D_1$ получаются смещением точки $D$ на вектор $\vec{v}$: $D_1 = D + \vec{v}$.

$x_{D_1} = x_D + v_x = 6 + 2 = 8$

$y_{D_1} = y_D + v_y = 0 + 3 = 3$

$z_{D_1} = z_D + v_z = 1 + (-1) = 0$

Ответ: $D_1(8; 3; 0)$.

Вершина $C_1$

Координаты $C_1$ получаются смещением точки $C$ на вектор $\vec{v}$: $C_1 = C + \vec{v}$.

$x_{C_1} = x_C + v_x = 5 + 2 = 7$

$y_{C_1} = y_C + v_y = 4 + 3 = 7$

$z_{C_1} = z_C + v_z = 4 + (-1) = 3$

Ответ: $C_1(7; 7; 3)$.