Номер 4, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 15.

Условие.

4. Какие векторы называют коллинеарными?

Решение 1.

Решение 3.

Коллинеарными называют векторы, которые лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают) по определению считается коллинеарным любому другому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными, то есть направленными в одну сторону (обозначается $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), или противоположно направленными, то есть направленными в разные стороны (обозначается $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Математически два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности. Значение этого коэффициента определяет взаимное направление векторов: если $k > 0$, векторы сонаправлены, а если $k < 0$, то они противоположно направлены.

Если векторы заданы своими координатами, то их коллинеарность означает пропорциональность соответствующих координат. Например, для двух векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ условие коллинеарности выглядит так: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$. Это равенство (справедливое при $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$) можно записать в виде $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$, что является универсальным условием, работающим даже при наличии нулевых координат.

Аналогично, для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ их координаты должны быть пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$.

Ответ: Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Это эквивалентно тому, что для двух таких векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существует число $k$, при котором справедливо равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.