Номер 8, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 16.

Условие.

8. Поясните, что называют координатами данного вектора.

Решение 1.

Решение 3.

Координатами вектора в заданной системе координат (например, в прямоугольной декартовой системе) называют упорядоченный набор чисел, которые определяют данный вектор в этой системе. Эти числа являются коэффициентами в разложении вектора по базисным векторам (координатным ортам).

Рассмотрим вектор $\vec{a}$ на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В этой системе есть два базисных вектора: $\vec{i}$ — единичный вектор, сонаправленный с осью Ox, и $\vec{j}$ — единичный вектор, сонаправленный с осью Oy. Любой вектор $\vec{a}$ на плоскости можно единственным образом представить в виде линейной комбинации (суммы) этих базисных векторов:

$\vec{a} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j}$

Числа $x$ и $y$ в этом разложении и называются координатами вектора $\vec{a}$. Координаты записывают в виде упорядоченной пары, используя фигурные или круглые скобки: $\vec{a}\{x; y\}$ или $\vec{a}=(x, y)$. Число $x$ — это первая координата (абсцисса), а $y$ — вторая координата (ордината) вектора.

Геометрически координаты вектора можно определить следующим образом:

1. Если вектор отложен от начала координат, то есть его начало находится в точке $O(0, 0)$, а конец — в точке $M(x_M, y_M)$, то координаты вектора $\vec{OM}$ совпадают с координатами его конечной точки: $\vec{OM} = \{x_M; y_M\}$.

2. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своей начальной точки $A(x_A, y_A)$ и конечной точки $B(x_B, y_B)$, то его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\}$

Таким образом, координаты вектора показывают смещение по каждой из осей, необходимое для перемещения из начальной точки вектора в конечную. Важно, что равные векторы (сонаправленные и равные по длине) имеют одинаковые координаты, независимо от того, где они расположены на плоскости.

Аналогичное определение справедливо и для трехмерного пространства, где вектор $\vec{a}$ имеет три координаты $\{x; y; z\}$, соответствующие разложению по трем базисным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Ответ: Координатами вектора называются коэффициенты в его разложении по базисным векторам. Для вектора на плоскости $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ его координаты — это пара чисел $\{x; y\}$. Они могут быть найдены как разность координат конца и начала вектора.