Номер 1, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 1, страница 16.

Условие.

2.1. На рисунке 2.9 изображена правильная призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Равны ли векторы:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1 C_1}$;

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1 B_1}$;

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1 C}$;

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$?

Рис. 2.9

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными правильными (равносторонними) треугольниками, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ равны по длине, параллельны друг другу и перпендикулярны плоскостям оснований. Из этого следует, что $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$ и, например, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$;

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ — призма, ее верхнее основание $A_1B_1C_1$ получается из нижнего $ABC$ параллельным переносом. При этом переносе точка $A$ переходит в $A_1$, а точка $C$ — в $C_1$. Следовательно, вектор $\vec{A_1C_1}$ является результатом переноса вектора $\vec{AC}$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ сонаправлены и их длины равны ($|AC| = |A_1C_1|$). Таким образом, векторы равны.
Ответ: да, равны.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$;

Так как основания призмы — равные равносторонние треугольники, длины сторон $AC$ и $A_1B_1$ равны, а значит, равны и модули векторов: $|\vec{AC}| = |\vec{A_1B_1}|$. Однако их направления различны. В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ угол между сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$ равен $60^\circ$. Поскольку вектор $\vec{AC}$ сонаправлен вектору $\vec{A_1C_1}$ (из пункта 1), то и угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$ также составляет $60^\circ$. Так как векторы не сонаправлены (не коллинеарны), они не равны.
Ответ: нет, не равны.

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$;

Боковые ребра призмы $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{BB_1}$ направлен от нижнего основания к верхнему. Вектор $\vec{C_1C}$ имеет начало в точке $C_1$ верхнего основания и конец в точке $C$ нижнего основания, то есть он направлен от верхнего основания к нижнему. Таким образом, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$ имеют противоположные направления. Так как векторы не сонаправлены, они не равны. (Это противоположные векторы: $\vec{BB_1} = -\vec{C_1C}$).
Ответ: нет, не равны.

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$?

По определению призмы, ее боковые ребра $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ оба направлены от нижнего основания $ABC$ к верхнему $A_1B_1C_1$. Следовательно, векторы сонаправлены и их длины равны. Таким образом, векторы равны.
Ответ: да, равны.