Номер 3, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 16.

Условие.

2.3. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AA_1$ и $AD$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 2.10), $AB \neq AD$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$;

3) имеют равные модули с вектором $\vec{BC_1}$.

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано: $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой параллелепипед, точка E — середина ребра $AA_1$, точка F — середина ребра $AD$, $AB \neq AD$.

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$

Рассмотрим треугольник $AA_1D$. Так как E и F являются серединами сторон $AA_1$ и $AD$ соответственно, отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, отрезок $EF$ параллелен отрезку $A_1D$.

Направление вектора $\vec{EF}$ совпадает с направлением вектора $\vec{A_1D}$. Таким образом, векторы $\vec{EF}$ и $\vec{A_1D}$ сонаправлены: $\vec{EF} \uparrow\uparrow \vec{A_1D}$.

В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны, поэтому векторы, соединяющие соответствующие вершины, равны. Вектор $\vec{A_1D}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Соответствующей диагональю в параллельной грани $BCC_1B_1$ является вектор $\vec{B_1C}$. Следовательно, $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$.

Равные векторы сонаправлены, поэтому вектор $\vec{B_1C}$ также сонаправлен с вектором $\vec{A_1D}$ и, следовательно, с вектором $\vec{EF}$.

Ответ: $\vec{A_1D}$, $\vec{B_1C}$.

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$

Векторы, противоположно направленные (антиколлинеарные) вектору $\vec{AB_1}$, должны быть ему параллельны и направлены в противоположную сторону. Очевидно, таким вектором является $\vec{B_1A}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. В параллельной ей грани $DCC_1D_1$ соответствующая диагональ задаётся вектором $\vec{DC_1}$. Так как грани равны и параллельны, то $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Вектор, противоположно направленный вектору $\vec{DC_1}$, — это вектор $\vec{C_1D}$.

Таким образом, векторы, противоположно направленные вектору $\vec{AB_1}$, — это $\vec{B_1A}$ и $\vec{C_1D}$.

Ответ: $\vec{B_1A}$, $\vec{C_1D}$.

3) имеют равные модули с вектором $\vec{BC_1}$

Требуется найти все векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, длина которых равна длине (модулю) вектора $\vec{BC_1}$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой параллелепипед, его боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол $\angle BCC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$|\vec{BC_1}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CC_1}|^2$.

По свойствам параллелепипеда, $|\vec{BC}| = |\vec{AD}|$ и $|\vec{CC_1}| = |\vec{AA_1}| = |\vec{DD_1}| = |\vec{BB_1}|$.

Следовательно, $|\vec{BC_1}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$.

Теперь найдём модули других векторов (диагоналей граней):

• Для грани $BCC_1B_1$: другая диагональ — $\vec{B_1C}$. Из прямоугольного треугольника $B_1BC$: $|\vec{B_1C}|^2 = |\vec{B_1B}|^2 + |\vec{BC}|^2 = |\vec{AA_1}|^2 + |\vec{AD}|^2$. Таким образом, $|\vec{B_1C}| = |\vec{BC_1}|$.
• Для грани $ADD_1A_1$: диагональ $\vec{AD_1}$. Из прямоугольного треугольника $ADD_1$: $|\vec{AD_1}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{DD_1}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$. Таким образом, $|\vec{AD_1}| = |\vec{BC_1}|$.
• Для грани $ADD_1A_1$: диагональ $\vec{A_1D}$. Из прямоугольного треугольника $A_1AD$: $|\vec{A_1D}|^2 = |\vec{A_1A}|^2 + |\vec{AD}|^2 = |\vec{AA_1}|^2 + |\vec{AD}|^2$. Таким образом, $|\vec{A_1D}| = |\vec{BC_1}|$.
• Для грани $ABB_1A_1$: диагональ $\vec{AB_1}$. Из прямоугольного треугольника $ABB_1$: $|\vec{AB_1}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BB_1}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$. По условию $AB \neq AD$, следовательно, $|\vec{AB_1}| \neq |\vec{BC_1}|$.

Итак, векторы, имеющие такой же модуль, как $\vec{BC_1}$, являются диагоналями граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$. Каждый из этих четырёх отрезков-диагоналей ($BC_1, B_1C, AD_1, A_1D$) может быть представлен двумя противоположно направленными векторами.

Перечислим все такие векторы: $\vec{BC_1}$, $\vec{C_1B}$, $\vec{B_1C}$, $\vec{CB_1}$, $\vec{AD_1}$, $\vec{D_1A}$, $\vec{A_1D}$, $\vec{DA_1}$.

Ответ: $\vec{C_1B}$, $\vec{B_1C}$, $\vec{CB_1}$, $\vec{AD_1}$, $\vec{D_1A}$, $\vec{A_1D}$, $\vec{DA_1}$.