Номер 5, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 5, страница 17.

Условие.

2.5. Начертите тетраэдр $DABC$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{CA}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{AC}$;

3) от точки $D$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{BC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Сначала начертим тетраэдр $DABC$. Это пространственная фигура, состоящая из четырех вершин ($A, B, C, D$) и четырех треугольных граней ($ABC, ABD, BCD, ACD$).

Для решения задачи выполним следующие построения.

1) от точки А вектор, равный вектору $\vec{CA}$

Чтобы отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CA}$, необходимо построить новый вектор, начинающийся в точке $A$, который будет сонаправлен вектору $\vec{CA}$ и равен ему по длине. Обозначим конечную точку искомого вектора как $A_1$. Таким образом, нам нужно построить вектор $\vec{AA_1}$ такой, что $\vec{AA_1} = \vec{CA}$.

Равенство векторов означает, что они должны быть коллинеарны, сонаправлены и равны по модулю (длине).

Вектор $\vec{CA}$ направлен от точки $C$ к точке $A$. Следовательно, искомый вектор $\vec{AA_1}$ должен быть направлен от точки $A$ по прямой $CA$ в том же направлении. Это означает, что точка $A_1$ должна лежать на продолжении отрезка $CA$ за точку $A$.

Длина вектора $\vec{AA_1}$ должна быть равна длине вектора $\vec{CA}$, то есть $|\vec{AA_1}| = |\vec{CA}|$. Для построения точки $A_1$ нужно провести прямую через точки $C$ и $A$. Затем на этой прямой от точки $A$ в сторону, противоположную точке $C$, отложить отрезок $AA_1$, длина которого равна длине отрезка $CA$. В результате точка $A$ станет серединой отрезка $CA_1$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AA_1}$, где точка $A_1$ такова, что точка $A$ является серединой отрезка $CA_1$.

2) от точки B вектор, равный вектору $\vec{AC}$

Чтобы отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$, необходимо построить вектор с началом в точке $B$, который будет сонаправлен вектору $\vec{AC}$ и равен ему по длине. Обозначим конечную точку искомого вектора как $B_1$. Требуется построить вектор $\vec{BB_1}$ такой, что $\vec{BB_1} = \vec{AC}$.

Из равенства векторов $\vec{BB_1} = \vec{AC}$ следует, что отрезки $BB_1$ и $AC$ параллельны, равны по длине, и их направления (от $B$ к $B_1$ и от $A$ к $C$) совпадают.

Это условие является определением параллелограмма. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. В нашем случае это четырехугольник $ACB_1B$.

Для построения точки $B_1$ необходимо в пространстве достроить параллелограмм $ACB_1B$. Для этого можно провести через точку $B$ прямую, параллельную прямой $AC$, и отложить на ней от точки $B$ отрезок $BB_1$, равный по длине отрезку $AC$, в том же направлении, что и вектор $\vec{AC}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BB_1}$, где точка $B_1$ такова, что четырехугольник $ACB_1B$ является параллелограммом.

3) от точки D вектор, равный вектору $\vec{BC}$

Аналогично предыдущему пункту, чтобы отложить от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$, нужно построить вектор с началом в точке $D$, который будет сонаправлен вектору $\vec{BC}$ и равен ему по длине. Обозначим конечную точку искомого вектора как $D_1$. Требуется построить вектор $\vec{DD_1}$ такой, что $\vec{DD_1} = \vec{BC}$.

Из равенства векторов $\vec{DD_1} = \vec{BC}$ следует, что отрезки $DD_1$ и $BC$ параллельны, равны по длине, и их направления (от $D$ к $D_1$ и от $B$ к $C$) совпадают.

Это означает, что четырехугольник $BCD_1D$ является параллелограммом.

Для построения точки $D_1$ необходимо в пространстве достроить параллелограмм $BCD_1D$. Для этого через точку $D$ проводится прямая, параллельная прямой $BC$, и на ней откладывается отрезок $DD_1$, равный по длине отрезку $BC$, в том же направлении, что и вектор $\vec{BC}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{DD_1}$, где точка $D_1$ такова, что четырехугольник $BCD_1D$ является параллелограммом.