Номер 2, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2, страница 16.

Условие.

2.2. Могут ли быть равными векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$.

1. Длина векторов. Длина вектора $\overrightarrow{AB}$ равна длине отрезка $AB$. Длина вектора $\overrightarrow{BA}$ равна длине отрезка $BA$. Так как длина отрезка не зависит от порядка точек, то модули векторов всегда равны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BA}|$.

2. Направление векторов. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от точки $A$ к точке $B$. Вектор $\overrightarrow{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$.

Проанализируем два возможных случая:

Случай 1: Точки $A$ и $B$ не совпадают ($A \neq B$).
В этом случае векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ имеют противоположные направления. Так как для равенства векторов требуется совпадение направлений, эти векторы не могут быть равны. Они являются противоположными векторами, для которых выполняется соотношение $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.

Случай 2: Точки $A$ и $B$ совпадают ($A = B$).
В этом случае вектор $\overrightarrow{AB}$ представляет собой вектор $\overrightarrow{AA}$, начало и конец которого совпадают. Такой вектор называется нулевым вектором и обозначается $\vec{0}$. Его длина равна нулю, а направление не определено.
Аналогично, вектор $\overrightarrow{BA}$ становится вектором $\overrightarrow{BB}$, который также является нулевым вектором $\vec{0}$.
Поскольку оба вектора являются нулевыми, они равны: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} = \vec{0}$.

Таким образом, равенство векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ возможно только в одном-единственном случае.

Ответ: Да, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ могут быть равными. Это происходит только в том случае, если точки $A$ и $B$ совпадают, то есть когда оба вектора являются нулевыми ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} = \vec{0}$).