Номер 9, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 16.

Условие.

9. Что можно сказать о координатах равных векторов?

Решение 1.

Решение 3.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В координатной форме это свойство выражается через равенство соответствующих координат.

Пусть в пространстве заданы два вектора: вектор $\vec{a}$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и вектор $\vec{b}$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$, тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны. Это можно записать в виде системы равенств:

$\begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \\ z_1 = z_2 \end{cases}$

Это утверждение справедливо и в обратную сторону: если соответствующие координаты двух векторов равны, то и сами векторы равны. Это следует из того, что и длина вектора (например, $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$), и его направление полностью определяются его координатами. Если координаты совпадают, то совпадут и длины, и направления.

Для векторов на плоскости правило аналогично: если $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, то их равенство $\vec{a} = \vec{b}$ эквивалентно одновременному выполнению двух условий: $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.

Ответ: Равные векторы имеют соответственно равные координаты. И наоборот, если соответствующие координаты двух векторов равны, то эти векторы равны.