Номер 10, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 16.

Условие.

10. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны?

Решение 1.

Решение 3.

Если соответствующие координаты двух или более векторов равны, то по определению такие векторы являются равными.

Рассмотрим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в n-мерном пространстве с координатами:

$\vec{a} = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$

$\vec{b} = \{b_1, b_2, \dots, b_n\}$

Условие, что их соответствующие координаты равны, означает, что $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$, ..., $a_n = b_n$.

Это является формальным определением равенства векторов: $\vec{a} = \vec{b}$.

Из равенства векторов следуют два ключевых геометрических свойства:

• Они имеют одинаковую длину (модуль). Длина вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Так как координаты векторов попарно равны, то и их длины будут равны: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2} = |\vec{b}|$.
• Они имеют одинаковое направление. Векторы, у которых совпадают все соответствующие координаты, указывают в одном и том же направлении. Такие векторы называются сонаправленными и, следовательно, коллинеарными (параллельными).

Геометрически это означает, что если отложить эти векторы от одной и той же точки (например, от начала координат), то их концы совпадут. Равные векторы можно получить друг из друга параллельным переносом, не изменяя их длины и направления.

Ответ: Векторы, соответствующие координаты которых равны, являются равными векторами. Это означает, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены).