Номер 4, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 17.

Условие.

2.4. Точки M и K – середины соответственно рёбер CD и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{AD}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{MK}$;

3) имеют равные модули с вектором $\vec{AC_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) сонаправлены с вектором $\vec{AD}$
Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы (лежащие на параллельных прямых), направленные в одну и ту же сторону. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра, параллельные ребру $AD$, это $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Векторы с началом и концом в вершинах, сонаправленные с вектором $\vec{AD}$, должны иметь то же направление и длину, что и $\vec{AD}$.
Такими векторами являются $\vec{BC}$, $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{B_1C_1}$.
Ответ: $\vec{BC}, \vec{A_1D_1}, \vec{B_1C_1}$.

2) противоположно направлены с вектором $\vec{MK}$
Чтобы найти искомые векторы, сначала определим направление вектора $\vec{MK}$. Выразим его через рёбра параллелепипеда, используя правило сложения векторов: $\vec{MK} = \vec{MC} + \vec{CK}$.
По условию, точка $M$ — середина ребра $CD$, следовательно, вектор $\vec{MC}$ равен половине вектора $\vec{DC}$: $\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Точка $K$ — середина ребра $CC_1$, следовательно, вектор $\vec{CK}$ равен половине вектора $\vec{CC_1}$: $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$.
Тогда $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CC_1})$.
В параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.
Подставим эти равенства в выражение для $\vec{MK}$: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$.
Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1}$ по правилу параллелограмма равна вектору диагонали грани $ABB_1A_1$, то есть вектору $\vec{AB_1}$.
Таким образом, $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AB_1}$. Это означает, что вектор $\vec{MK}$ сонаправлен с вектором $\vec{AB_1}$.
Также, в параллелепипеде $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$, так как четырёхугольник $ADC_1B_1$ является параллелограммом. Следовательно, $\vec{MK}$ сонаправлен и с вектором $\vec{DC_1}$.
Векторы, противоположно направленные вектору $\vec{MK}$, должны быть противоположно направлены векторам $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$. Это векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{C_1D}$.
Ответ: $\vec{B_1A}, \vec{C_1D}$.

3) имеют равные модули с вектором $\vec{AC_1}$
Вектор $\vec{AC_1}$ соединяет противоположные вершины $A$ и $C_1$ прямоугольного параллелепипеда, то есть является его пространственной диагональю.
В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали ($AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, $DB_1$) равны по длине. Длина (модуль) каждой из них вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — длины рёбер параллелепипеда.
Следовательно, нам нужно найти все векторы, соответствующие этим четырём диагоналям. Для каждой диагонали существует два вектора, направленных в противоположные стороны, но имеющих одинаковый модуль.
Эти векторы:
- для диагонали $AC_1$: $\vec{AC_1}$ и $\vec{C_1A}$
- для диагонали $BD_1$: $\vec{BD_1}$ и $\vec{D_1B}$
- для диагонали $CA_1$: $\vec{CA_1}$ и $\vec{A_1C}$
- для диагонали $DB_1$: $\vec{DB_1}$ и $\vec{B_1D}$
Всего получается 8 векторов.
Ответ: $\vec{AC_1}, \vec{C_1A}, \vec{BD_1}, \vec{D_1B}, \vec{CA_1}, \vec{A_1C}, \vec{DB_1}, \vec{B_1D}$.