Номер 7, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 16.

Условие.

7. Какие векторы называют компланарными?

Решение 1.

Решение 3.

Компланарными называют векторы, которые при откладывании от одной и той же точки (то есть при приведении к общему началу) лежат в одной плоскости. Другое, эквивалентное определение: векторы компланарны, если они параллельны некоторой плоскости.

Рассмотрим основные свойства и критерии компланарности векторов:

• Любые два вектора в пространстве всегда компланарны. Это связано с тем, что через две пересекающиеся прямые (если векторы не коллинеарны) или через одну прямую (если векторы коллинеарны) всегда можно провести плоскость.
• Три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются компланарными тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Это означает, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то вектор $\vec{c}$ будет им компланарен, если существуют такие числа $x$ и $y$, для которых выполняется равенство: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
• Алгебраическим критерием компланарности трех векторов $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ и $\vec{c}=(c_x, c_y, c_z)$, заданных в координатной форме, является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
  $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$
  Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Равенство объема нулю означает, что параллелепипед "сплюснут" в плоскость, то есть все три вектора лежат в одной плоскости.

Ответ: Компланарными называют векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.