Номер 12, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 12, страница 17.

Условие.

2.12. Даны точки A $(5; -12; 7)$, B $(0; y; 3)$, C $(x; 17; -14)$, D $(15; 0; z)$. При каких значениях x, y и z верно равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы равенство векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$ было верным, их соответствующие координаты должны быть равны.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(5; -12; 7)$ и концом в точке $B(0; y; 3)$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 5; y - (-12); 3 - 7) = (-5; y + 12; -4)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(x; 17; -14)$ и концом в точке $D(15; 0; z)$:
$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (15 - x; 0 - 17; z - (-14)) = (15 - x; -17; z + 14)$.

Теперь приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, чтобы выполнить условие $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это дает нам систему из трех уравнений:
1) $-5 = 15 - x$
2) $y + 12 = -17$
3) $-4 = z + 14$

Решим каждое уравнение относительно неизвестной переменной:
1) Из уравнения $-5 = 15 - x$ находим $x$:
$x = 15 + 5$
$x = 20$

2) Из уравнения $y + 12 = -17$ находим $y$:
$y = -17 - 12$
$y = -29$

3) Из уравнения $-4 = z + 14$ находим $z$:
$z = -4 - 14$
$z = -18$

Таким образом, равенство векторов верно при найденных значениях $x, y$ и $z$.

Ответ: $x=20, y=-29, z=-18$.