Номер 38, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 38, страница 11.

Условие.

1.38. Основания равнобокой трапеции равны 13 см и 37 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. По условию, основания равнобокой трапеции равны $a = 37$ см и $b = 13$ см. Нам необходимо найти высоту трапеции.

Пусть диагонали трапеции AC и BD пересекаются в точке O. Проведем через точку O высоту трапеции MN, где точка M лежит на меньшем основании BC, а точка N — на большем основании AD. Тогда высота трапеции $h = MN = OM + ON$.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и оснований ($\triangle BOC$ и $\triangle AOD$), являются равнобедренными. Так как по условию диагонали перпендикулярны ($\angle BOC = \angle AOD = 90^\circ$), то эти треугольники являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Следовательно, для треугольника $\triangle BOC$, отрезок OM является высотой к гипотенузе BC: $OM = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2}$ см.

Аналогично, для треугольника $\triangle AOD$, отрезок ON является высотой к гипотенузе AD: $ON = \frac{AD}{2} = \frac{37}{2}$ см.

Теперь можем найти полную высоту трапеции: $h = OM + ON = \frac{13}{2} + \frac{37}{2} = \frac{13+37}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Найдя высоту, вычислим площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{37+13}{2} \cdot 25 = \frac{50}{2} \cdot 25 = 25 \cdot 25 = 625$ см$^2$.

Ответ: 625 см$^2$.