Номер 31, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 31, страница 11.

Условие.

1.31. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (1; -2; 2)$, $B (2; 6; 1)$, $C (-1; -1; 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD можно воспользоваться одним из его свойств. Например, в параллелограмме векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Возьмем равенство векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Пусть координаты искомой вершины D будут $(x; y; z)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек B(2; 6; 1) и C(-1; -1; 3). Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-1 - 2; -1 - 6; 3 - 1) = (-3; -7; 2)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через известные координаты точки A(1; -2; 2) и неизвестные координаты точки D(x; y; z).

$\vec{AD} = (x - x_A; y - y_A; z - z_A) = (x - 1; y - (-2); z - 2) = (x - 1; y + 2; z - 2)$.

3. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты равны. Приравняем их и составим систему уравнений:

$x - 1 = -3$

$y + 2 = -7$

$z - 2 = 2$

4. Решим полученные уравнения относительно x, y и z:

$x = -3 + 1 \implies x = -2$

$y = -7 - 2 \implies y = -9$

$z = 2 + 2 \implies z = 4$

Таким образом, координаты вершины D равны $(-2; -9; 4)$.

Другой способ решения — использование свойства диагоналей. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Пусть O - точка пересечения диагоналей.

1. Найдем координаты середины диагонали AC:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + (-1)}{2} = -\frac{3}{2}$

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$

2. Координаты середины диагонали BD должны быть такими же:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 0 = \frac{2 + x}{2} \implies 2 + x = 0 \implies x = -2$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies -\frac{3}{2} = \frac{6 + y}{2} \implies -3 = 6 + y \implies y = -9$

$z_O = \frac{z_B + z_D}{2} \implies \frac{5}{2} = \frac{1 + z}{2} \implies 5 = 1 + z \implies z = 4$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: D(-2; -9; 4).