Номер 29, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 29, страница 25.

Условие.

3.29. Даны четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁. Докажите, что

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1} = \vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CD_1} + \vec{DA_1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его правую часть, используя правило треугольника для сложения векторов (также известное как правило Шаля).

Правая часть равенства имеет вид: $\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CD_1} + \vec{DA_1}$.

Согласно правилу треугольника, любой вектор $\vec{XZ}$ можно представить как сумму векторов $\vec{XY} + \vec{YZ}$ для любой точки $Y$. Применим это правило к каждому вектору в правой части равенства, используя в качестве промежуточных точек вершины четырехугольника $ABCD$:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$
$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$
$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим эти разложения обратно в выражение для правой части:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CD_1} + \vec{DA_1} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) + (\vec{CD} + \vec{DD_1}) + (\vec{DA} + \vec{AA_1})$

Перегруппируем слагаемые в полученном выражении, собрав вместе векторы, соединяющие соответствующие вершины четырехугольников, и векторы, являющиеся сторонами четырехугольника $ABCD$:

$(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1}) + (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA})$

Рассмотрим сумму векторов во второй скобке: $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA})$. Эта сумма представляет собой векторы, последовательно образующие замкнутый контур четырехугольника $ABCD$. Вычислим эту сумму, последовательно складывая векторы:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$

$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AA} = \vec{0}$

Таким образом, сумма векторов, образующих замкнутый контур, равна нулевому вектору.

Подставив $\vec{0}$ вместо второй скобки в наше сгруппированное выражение, получим:

$(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1}) + \vec{0} = \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1}$

Мы видим, что преобразованная правая часть исходного равенства в точности совпадает с его левой частью.

Ответ: Что и требовалось доказать.