Номер 36, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 36, страница 25.

Условие.

3.36. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $8\sqrt{3}$ см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Большая диагональ призмы ($D$), её высота ($H$) и большая диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $D = 8\sqrt{3}$ см является гипотенузой. Угол между диагональю призмы $D$ и плоскостью основания — это угол между $D$ и её проекцией на это основание, то есть $d$. Этот угол по условию равен $60^\circ$.

Из этого прямоугольного треугольника найдем высоту призмы $H$ и большую диагональ основания $d$:
Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$:
$H = D \cdot \sin(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ см.
Большая диагональ основания $d$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$:
$d = D \cdot \cos(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Так как призма правильная, в её основании лежит правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника ($d$) в два раза больше его стороны ($a$), то есть $d = 2a$.
Найдем сторону основания $a$:
$2a = 4\sqrt{3} \implies a = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площади.
Площадь основания (правильного шестиугольника) вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(4 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3} \cdot 12}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$).
Периметр основания $P_{осн} = 6a = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12\sqrt{3} \cdot 12 = 144\sqrt{3}$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности призмы:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 18\sqrt{3} + 144\sqrt{3} = 36\sqrt{3} + 144\sqrt{3} = 180\sqrt{3}$ см².

Ответ: $180\sqrt{3}$ см².