Номер 7, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 31.

Условие.

7. В каком случае говорят, что точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$?

Решение 1.

Решение 3.

Говорят, что точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \neq 0$), если выполняется векторное равенство:

$\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$

Это равенство означает, что точка-образ $X_1$ лежит на прямой, проходящей через центр гомотетии $O$ и исходную точку $X$.

Из этого основного равенства следуют два важных свойства:

1. Расположение точек: Точки $O$, $X$ и $X_1$ всегда лежат на одной прямой. Если $k > 0$, то точки $X$ и $X_1$ находятся по одну сторону от центра $O$ (на одном луче с началом в $O$). Если $k < 0$, то точки $X$ и $X_1$ находятся по разные стороны от центра $O$.

2. Расстояние от центра: Расстояние от центра гомотетии $O$ до точки-образа $X_1$ равно расстоянию от центра до исходной точки $X$, умноженному на модуль коэффициента $k$: $OX_1 = |k| \cdot OX$.

Если $X$ совпадает с центром $O$, то ее образ $X_1$ также совпадает с $O$, так как $\vec{OO_1} = k \cdot \vec{OO} = \vec{0}$.

Ответ: Точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, если выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.