Номер 8, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 31.

Условие.

8. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$.

Решение 1.

Решение 3.

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k (где k — действительное число, не равное нулю) — это такое преобразование фигуры F, при котором каждая точка M этой фигуры преобразуется в точку M', удовлетворяющую следующему векторному условию:

$ \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} $

Это равенство означает, что преобразование обладает следующими свойствами:

• Точки O (центр гомотетии), M (исходная точка) и M' (ее образ) всегда лежат на одной прямой.
• Расстояние от центра гомотетии до образа точки ($OM'$) связано с расстоянием до исходной точки ($OM$) соотношением: $ |OM'| = |k| \cdot |OM| $. То есть, расстояние изменяется в $|k|$ раз.
• Положение точки M' относительно центра O определяется знаком коэффициента k:
  • Если $k > 0$, то точки M и M' лежат на одном луче, выходящем из центра O. В этом случае, если $k > 1$, происходит растяжение (увеличение) фигуры от центра O. Если $0 < k < 1$, происходит сжатие (уменьшение) фигуры к центру O. Если $k = 1$, каждая точка фигуры остается на своем месте (тождественное преобразование).
  • Если $k < 0$, то точки M и M' лежат на одной прямой с центром O, но по разные стороны от него. Преобразование в этом случае является композицией гомотетии с коэффициентом $|k|$ и центральной симметрии относительно точки O. Если $k = -1$, гомотетия представляет собой чистую центральную симметрию.
• Сам центр гомотетии O является неподвижной точкой, то есть он преобразуется в самого себя.

В результате гомотетии любая фигура F преобразуется в подобную ей фигуру F'.

Ответ: Гомотетией с центром O и коэффициентом k ($ k \neq 0 $) называется преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство $ \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} $. Это означает, что точка M' лежит на прямой OM, а ее расстояние до центра O равно $ |k| \cdot |OM| $. Если $ k > 0 $, точки M и M' находятся по одну сторону от O; если $ k < 0 $, то по разные стороны.