Номер 9, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 31.

Условие.

9. Сформулируйте свойства гомотетии.

Решение 1.

Решение 3.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ — это преобразование плоскости (или пространства), которое сопоставляет каждой точке $M$ такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Основные свойства гомотетии:

• Неподвижная точка
  Единственной неподвижной точкой гомотетии (при $k \neq 1$) является её центр $O$. Все остальные точки смещаются.

• Образ прямой
  При гомотетии любая прямая переходит в прямую.

  • Прямая, проходящая через центр гомотетии $O$, переходит сама в себя.
  • Прямая, не проходящая через центр гомотетии $O$, переходит в параллельную ей прямую.

• Сохранение углов
  Гомотетия является конформным преобразованием, то есть сохраняет углы между прямыми. Угол между двумя прямыми равен углу между их образами.

• Изменение расстояний
  При гомотетии расстояние между любыми двумя точками $A$ и $B$ изменяется в $|k|$ раз. То есть, если $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$, то длина отрезка $A'B'$ равна $A'B' = |k| \cdot AB$.

• Преобразование фигур (подобие)
  Гомотетия переводит любую фигуру в подобную ей фигуру. Коэффициент подобия равен $|k|$. Например, окружность переходит в окружность, а многоугольник — в подобный ему многоугольник.

• Изменение площадей и объемов
  Площадь любой плоской фигуры при гомотетии изменяется в $k^2$ раз ($S' = k^2 \cdot S$). Объем любого пространственного тела изменяется в $|k|^3$ раз ($V' = |k|^3 \cdot V$).

• Влияние знака и величины коэффициента $k$
  

  • Если $k>0$, гомотетия называется прямой. Точка и её образ лежат на одном луче, выходящем из центра $O$.
  • Если $k<0$, гомотетия называется обратной. Точка и её образ лежат на разных лучах (на одной прямой) с центром $O$ между ними.
  • Если $k=1$, гомотетия является тождественным преобразованием.
  • Если $k=-1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.
  • Если $|k|>1$, фигура увеличивается (растяжение).
  • Если $0 < |k|<1$, фигура уменьшается (сжатие).

• Обратное преобразование
  Преобразование, обратное гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, является гомотетией с тем же центром $O$ и коэффициентом $1/k$.

• Композиция гомотетий
  Композиция (последовательное применение) двух гомотетий с общим центром $O$ и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром $O$ и коэффициентом $k_1 \cdot k_2$.

Ответ: Свойства гомотетии включают: наличие единственной неподвижной точки (центра), преобразование прямых в параллельные им прямые (или в самих себя), сохранение углов, изменение расстояний в $|k|$ раз, изменение площадей в $k^2$ раз, а также преобразование любой фигуры в подобную ей.