номер 180, страница 60, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

180. Используя таблицу 18, данному числу припишите справа и слева цифры так, чтобы получилось число, которое делится на $\text{2}$, $\text{5}$, $\text{9}$.

Таблица 18

Данное число

Делится на 2

Делится на 5

Делится на 9

6

97

658

2008

Чтобы число делилось одновременно на 2, 5 и 9, оно должно удовлетворять признакам делимости на каждое из этих чисел.

1. Делимость на 2 и 5. Число, которое делится и на 2, и на 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное, равное 10. Признак делимости на 10 — число должно оканчиваться на 0. Следовательно, к каждому данному числу справа необходимо приписать цифру 0.

2. Делимость на 9. Сумма всех цифр числа должна быть кратна 9.

Пусть $\text{a}$ — цифра, которую мы приписываем слева ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$, так как число не может начинаться с нуля), а справа приписываем 0. Теперь для каждого случая найдем такую цифру $\text{a}$, чтобы сумма цифр получившегося числа делилась на 9.

6 Искомое число имеет вид $\overline{a60}$. Сумма его цифр равна $S = a + 6 + 0 = a + 6$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $\text{a}$ — это цифра от 1 до 9, то $1+6 \le a+6 \le 9+6$, то есть $7 \le S \le 15$. Единственное число в этом промежутке, делящееся на 9, — это 9. Следовательно, $a+6=9$, откуда $a=3$. Таким образом, получаем число 360.

Ответ: 360.

97 Искомое число имеет вид $\overline{a970}$. Сумма его цифр равна $S = a + 9 + 7 + 0 = a + 16$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $1 \le a \le 9$, то $1+16 \le a+16 \le 9+16$, то есть $17 \le S \le 25$. Единственное число в этом промежутке, делящееся на 9, — это 18. Следовательно, $a+16=18$, откуда $a=2$. Таким образом, получаем число 2970.

Ответ: 2970.

658 Искомое число имеет вид $\overline{a6580}$. Сумма его цифр равна $S = a + 6 + 5 + 8 + 0 = a + 19$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $1 \le a \le 9$, то $1+19 \le a+19 \le 9+19$, то есть $20 \le S \le 28$. Единственное число в этом промежутке, делящееся на 9, — это 27. Следовательно, $a+19=27$, откуда $a=8$. Таким образом, получаем число 86580.

Ответ: 86580.

2008 Искомое число имеет вид $\overline{a20080}$. Сумма его цифр равна $S = a + 2 + 0 + 0 + 8 + 0 = a + 10$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $1 \le a \le 9$, то $1+10 \le a+10 \le 9+10$, то есть $11 \le S \le 19$. Единственное число в этом промежутке, делящееся на 9, — это 18. Следовательно, $a+10=18$, откуда $a=8$. Таким образом, получаем число 820080.

Ответ: 820080.