номер 236, страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

236. Какие пары чисел являются взаимно простыми числами:

1) $4 \text{ и } 12$;

2) $4 \text{ и } 15$;

3) $6 \text{ и } 22$;

4) $15 \text{ и } 100$;

5) $9 \text{ и } 18$;

6) $16 \text{ и } 25$?

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проанализируем каждую пару чисел, чтобы определить, какие из них являются взаимно простыми.

1) 4 и 12

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 4 и 12. Поскольку число 12 делится на 4 без остатка ($12 : 4 = 3$), то их наибольший общий делитель равен 4.

НОД(4, 12) = 4.

Так как НОД не равен 1, эта пара чисел не является взаимно простой.

Ответ: не являются взаимно простыми.

2) 4 и 15

Разложим числа 4 и 15 на простые множители:

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$15 = 3 \cdot 5$

У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(4, 15) = 1.

Так как НОД равен 1, эта пара чисел является взаимно простой.

Ответ: являются взаимно простыми.

3) 6 и 22

Оба числа, 6 и 22, являются четными, а значит, они оба делятся на 2. Это означает, что их НОД будет как минимум 2.

НОД(6, 22) = 2.

Так как НОД не равен 1, эта пара чисел не является взаимно простой.

Ответ: не являются взаимно простыми.

4) 15 и 100

Оба числа, 15 и 100, делятся на 5, так как одно оканчивается на 5, а другое на 0. Следовательно, у них есть общий делитель 5, и их НОД не равен 1.

Разложение на множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$100 = 2^2 \cdot 5^2$

НОД(15, 100) = 5.

Эта пара чисел не является взаимно простой.

Ответ: не являются взаимно простыми.

5) 9 и 18

Число 18 делится на 9 без остатка ($18 : 9 = 2$), поэтому их наибольший общий делитель равен 9.

НОД(9, 18) = 9.

Так как НОД не равен 1, эта пара чисел не является взаимно простой.

Ответ: не являются взаимно простыми.

6) 16 и 25

Разложим числа 16 и 25 на простые множители:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(16, 25) = 1.

Так как НОД равен 1, эта пара чисел является взаимно простой.

Ответ: являются взаимно простыми.