номер 2, страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Чему равен НОД и НОК чисел $\text{a}$ и $\text{b}$, если:

1) числа $\text{a}$ и $\text{b}$ — взаимно простые;

2) число $\text{a}$ делится на число $\text{b}$?

1) числа а и b — взаимно простые;

По определению, два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет общих натуральных делителей, кроме единицы.

Следовательно, $НОД(a, b) = 1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) связано с наибольшим общим делителем через следующую формулу: $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$.

Чтобы найти НОК, подставим известное значение НОД в эту формулу:

$1 \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$

Из этого уравнения следует, что наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению:

$НОК(a, b) = a \cdot b$.

Например, для взаимно простых чисел 5 и 9: $НОД(5, 9) = 1$, а $НОК(5, 9) = 5 \cdot 9 = 45$.

Ответ: $НОД(a, b) = 1$, $НОК(a, b) = a \cdot b$.

2) число а делится на число b?

Если число $\text{a}$ делится на число $\text{b}$ без остатка, это означает, что $\text{b}$ является делителем числа $\text{a}$. Также любое число является делителем самого себя.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) нужно найти самое большое число, на которое делятся и $\text{a}$, и $\text{b}$. Так как $\text{b}$ является делителем и $\text{a}$ (по условию), и $\text{b}$ (само собой), то $\text{b}$ является их общим делителем. Поскольку никакой делитель числа $\text{b}$ не может быть больше самого $\text{b}$, то $\text{b}$ и есть их наибольший общий делитель.

Следовательно, $НОД(a, b) = b$.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) нужно найти самое маленькое натуральное число, которое делится и на $\text{a}$, и на $\text{b}$. Так как $\text{a}$ делится на $\text{a}$ и $\text{a}$ делится на $\text{b}$ (по условию), то $\text{a}$ является их общим кратным. Поскольку никакое положительное кратное числа $\text{a}$ не может быть меньше самого $\text{a}$, то $\text{a}$ и есть их наименьшее общее кратное.

Следовательно, $НОК(a, b) = a$.

Например, для чисел $a = 18$ и $b = 3$: число 18 делится на 3. $НОД(18, 3) = 3$ (что равно $\text{b}$), а $НОК(18, 3) = 18$ (что равно $\text{a}$).

Ответ: $НОД(a, b) = b$, $НОК(a, b) = a$.