номер 237, страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

237. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

1) 4 и 10;

2) 6 и 14;

3) 8 и 12;

4) 15 и 18;

5) 20 и 24;

6) 26 и 39.

1) Найдем наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4 и 10.

Сначала разложим оба числа на простые множители:

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени. Общий множитель здесь только один — это 2. Его наименьшая степень в разложениях равна 1.

$НОД(4, 10) = 2^1 = 2$

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), нужно перемножить все простые множители из обоих разложений, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени.

$НОК(4, 10) = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: НОД = 2, НОК = 20.

2) Найдем НОД и НОК для чисел 6 и 14.

Разложим числа на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$14 = 2 \cdot 7$

Наибольший общий делитель (НОД): общим множителем является 2. Наименьшая степень равна 1.

$НОД(6, 14) = 2$

Наименьшее общее кратное (НОК): перемножаем все множители (2, 3, 7) в их наибольших степенях.

$НОК(6, 14) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$

Ответ: НОД = 2, НОК = 42.

3) Найдем НОД и НОК для чисел 8 и 12.

Разложим числа на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Наибольший общий делитель (НОД): общий множитель — 2. Наименьшая степень — 2.

$НОД(8, 12) = 2^2 = 4$

Наименьшее общее кратное (НОК): множители — 2 и 3. Наибольшая степень для 2 — это 3, для 3 — это 1.

$НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Ответ: НОД = 4, НОК = 24.

4) Найдем НОД и НОК для чисел 15 и 18.

Разложим числа на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

Наибольший общий делитель (НОД): общий множитель — 3. Наименьшая степень — 1.

$НОД(15, 18) = 3$

Наименьшее общее кратное (НОК): множители — 2, 3, 5. Наибольшая степень для 2 — 1, для 3 — 2, для 5 — 1.

$НОК(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$

Ответ: НОД = 3, НОК = 90.

5) Найдем НОД и НОК для чисел 20 и 24.

Разложим числа на простые множители:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Наибольший общий делитель (НОД): общий множитель — 2. Наименьшая степень — 2.

$НОД(20, 24) = 2^2 = 4$

Наименьшее общее кратное (НОК): множители — 2, 3, 5. Наибольшая степень для 2 — 3, для 3 — 1, для 5 — 1.

$НОК(20, 24) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$

Ответ: НОД = 4, НОК = 120.

6) Найдем НОД и НОК для чисел 26 и 39.

Разложим числа на простые множители:

$26 = 2 \cdot 13$

$39 = 3 \cdot 13$

Наибольший общий делитель (НОД): общий множитель — 13. Наименьшая степень — 1.

$НОД(26, 39) = 13$

Наименьшее общее кратное (НОК): множители — 2, 3, 13. Все они в первой степени.

$НОК(26, 39) = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78$

Ответ: НОД = 13, НОК = 78.