номер 1, страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Верно ли:

1) два четных числа не могут быть взаимно простыми;

2) четное и нечетное числа всегда взаимно простые числа;

3) два различных простых числа являются взаимно простыми;

4) два составных числа не могут быть взаимно простыми;

5) два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые?

1) два четных числа не могут быть взаимно простыми;

Это утверждение верно. Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Четное число по определению делится на 2. Если мы возьмем два четных числа, например, $\text{a}$ и $\text{b}$, то оба они будут делиться на 2. Это означает, что у них есть общий делитель, равный 2. Следовательно, их НОД будет как минимум 2 (НОД($a, b$) $\ge$ 2), и он не может быть равен 1. Таким образом, два четных числа не могут быть взаимно простыми. Например, числа 8 и 12. Оба четные. НОД(8, 12) = 4. Они не взаимно простые.

Ответ: верно.

2) четное и нечетное числа всегда взаимно простые числа;

Это утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Возьмем четное число 6 и нечетное число 9. Найдем их наибольший общий делитель: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Делители числа 9: 1, 3, 9. Общие делители чисел 6 и 9 — это 1 и 3. Наибольший общий делитель НОД(6, 9) = 3. Поскольку НОД не равен 1, числа 6 и 9 не являются взаимно простыми.

Ответ: неверно.

3) два различных простых числа являются взаимно простыми;

Это утверждение верно. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Пусть у нас есть два различных простых числа, $p_1$ и $p_2$. Делителями числа $p_1$ являются только 1 и $p_1$. Делителями числа $p_2$ являются только 1 и $p_2$. Поскольку числа $p_1$ и $p_2$ различны, их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, НОД($p_1$, $p_2$) = 1, и они являются взаимно простыми. Например, 5 и 7 — простые числа. НОД(5, 7) = 1.

Ответ: верно.

4) два составных числа не могут быть взаимно простыми;

Это утверждение неверно. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (имеет делители, отличные от 1 и самого себя). Приведем контрпример. Возьмем два составных числа: 9 и 25. Число 9 является составным, так как $9 = 3 \times 3$. Число 25 является составным, так как $25 = 5 \times 5$. Найдем их НОД. Разложим на простые множители: $9 = 3^2$, $25 = 5^2$. У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их единственный общий делитель — это 1. НОД(9, 25) = 1. Следовательно, числа 9 и 25 являются взаимно простыми.

Ответ: неверно.

5) два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые?

Да, это утверждение верно. Возьмем два последовательных натуральных числа: $\text{n}$ и $n+1$. Предположим, что у них есть общий делитель $d > 1$. Тогда $\text{n}$ делится на $\text{d}$ ($n = kd$ для некоторого целого $\text{k}$) и $n+1$ делится на $\text{d}$ ($n+1 = ld$ для некоторого целого $\text{l}$). Вычтем первое уравнение из второго: $(n+1) - n = ld - kd$, что дает $1 = (l-k)d$. Отсюда следует, что $\text{d}$ является делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Таким образом, мы пришли к противоречию с нашим предположением, что $d > 1$. Следовательно, единственный общий положительный делитель двух последовательных натуральных чисел — это 1. Их НОД всегда равен 1. Например, НОД(14, 15) = 1.

Ответ: верно.