номер 378, страница 102, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

378. Найдите:

1) $\text{НОК}(45; 225)$;

2) $\text{НОК}(23; 31)$;

3) $\text{НОК}(34; 85)$.

1) Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел 45 и 225, можно применить правило: если одно из чисел делится на другое нацело, то НОК этих чисел равен большему из них.

Проверим, делится ли 225 на 45:

$225 \div 45 = 5$

Поскольку 225 делится на 45, то НОК(45; 225) = 225.

Другой способ — разложение на простые множители:

Разложение числа 45: $45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^1$.

Разложение числа 225: $225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot (3^2 \cdot 5) = 3^2 \cdot 5^2$.

Для нахождения НОК берём каждый простой множитель в наибольшей степени из обоих разложений и перемножаем их:

НОК(45; 225) = $3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

Ответ: 225

2) Для нахождения НОК чисел 23 и 31 сначала определим их природу.

Число 23 является простым, так как его делители — только 1 и 23.

Число 31 также является простым, его делители — только 1 и 31.

Поскольку у чисел 23 и 31 нет общих делителей, кроме 1, они являются взаимно простыми. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(23; 31) = $23 \cdot 31$.

Выполним умножение:

$23 \cdot 31 = 23 \cdot (30 + 1) = 23 \cdot 30 + 23 \cdot 1 = 690 + 23 = 713$.

Ответ: 713

3) Для нахождения НОК чисел 34 и 85 используем метод разложения на простые множители.

Разложим число 34 на множители: $34 = 2 \cdot 17$.

Разложим число 85 на множители: $85 = 5 \cdot 17$.

Чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях (2, 5, 17), и взять каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается. В данном случае все множители в первой степени.

НОК(34; 85) = $2^1 \cdot 5^1 \cdot 17^1 = 2 \cdot 5 \cdot 17 = 10 \cdot 17 = 170$.

Для проверки убедимся, что 170 делится на оба числа: $170 \div 34 = 5$ и $170 \div 85 = 2$.

Ответ: 170