номер 514, страница 130, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

514. 1) Известно, что некоторое число $\text{a}$ больше $\text{1}$. Сравните $a^2$ и $a^3$.

2) Известно, что некоторое число $\text{b}$ меньше $\text{1}$. Сравните $b^2$ и $b^3$.

1) По условию известно, что $a > 1$. Для того чтобы сравнить $a^2$ и $a^3$, рассмотрим их разность $a^3 - a^2$. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки, в результате чего получим выражение $a^2(a - 1)$. Проанализируем знаки множителей. Поскольку $a > 1$, то $\text{a}$ является положительным числом, и его квадрат $a^2$ также будет положительным, то есть $a^2 > 0$. Также из условия $a > 1$ следует, что разность $a - 1$ будет положительной, то есть $a - 1 > 0$. Произведение двух положительных чисел ($a^2$ и $a - 1$) всегда является положительным числом. Таким образом, $a^2(a - 1) > 0$. Так как $a^3 - a^2 > 0$, мы можем сделать вывод, что $a^3 > a^2$. Например, если $a=2$, то $a^2=4$, а $a^3=8$, и действительно $8 > 4$.

Ответ: $a^2 < a^3$.

2) По условию известно, что $b < 1$. Для сравнения $b^2$ и $b^3$ рассмотрим их разность $b^3 - b^2$ и вынесем за скобки общий множитель $b^2$: $b^2(b - 1)$. Проанализируем знаки множителей. Из условия $b < 1$ следует, что множитель $(b - 1)$ всегда будет отрицательным: $b - 1 < 0$. Множитель $b^2$ является квадратом числа $\text{b}$, поэтому он всегда неотрицателен: $b^2 \ge 0$. Теперь рассмотрим возможные случаи для значения $\text{b}$:

• Если $b = 0$, то $b^2 = 0$ и $b^3 = 0$. В этом случае $b^2 = b^3$.
• Если $b \neq 0$ (и при этом $b < 1$), то $b^2$ будет строго положительным: $b^2 > 0$. Этот случай охватывает как отрицательные значения $\text{b}$ (например, $b=-2$), так и положительные значения в интервале $(0, 1)$ (например, $b=0.5$). Произведение положительного числа ($b^2$) и отрицательного числа ($(b-1)$) всегда отрицательно: $b^2(b - 1) < 0$. Из этого следует, что $b^3 - b^2 < 0$, а значит $b^3 < b^2$.

Ответ: если $b=0$, то $b^2=b^3$; если $b<1$ и $b \neq 0$, то $b^2 > b^3$.