номер 519, страница 131, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

519. Сравните дроби:

1) $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$;

2) $\frac{11}{20}$ и $\frac{20}{11}$;

3) $\frac{123}{400}$ и $\frac{400}{123}$.

Найдите значение произведения этих дробей.

1) Сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$.

Для сравнения этих дробей можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Приведение к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$ равен $7 \cdot 5 = 35$.

Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}$

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{49}{35}$

Сравниваем числители полученных дробей: $25 < 49$. Следовательно, $\frac{25}{35} < \frac{49}{35}$, а значит $\frac{5}{7} < \frac{7}{5}$.

Способ 2: Сравнение с единицей.

Дробь $\frac{5}{7}$ является правильной, так как ее числитель (5) меньше знаменателя (7). Значение правильной дроби всегда меньше 1.

Дробь $\frac{7}{5}$ является неправильной, так как ее числитель (7) больше знаменателя (5). Значение неправильной дроби всегда больше 1.

Поскольку $\frac{5}{7} < 1$ и $\frac{7}{5} > 1$, очевидно, что $\frac{5}{7} < \frac{7}{5}$.

Теперь найдем значение произведения этих дробей. Дроби вида $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ называются взаимно обратными.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{35}{35} = 1$.

Ответ: $\frac{5}{7} < \frac{7}{5}$; произведение равно 1.

2) Сравним дроби $\frac{11}{20}$ и $\frac{20}{11}$.

Воспользуемся сравнением с единицей. Дробь $\frac{11}{20}$ — правильная, так как $11 < 20$, поэтому $\frac{11}{20} < 1$.

Дробь $\frac{20}{11}$ — неправильная, так как $20 > 11$, поэтому $\frac{20}{11} > 1$.

Следовательно, $\frac{11}{20} < \frac{20}{11}$.

Найдем произведение этих дробей. Они являются взаимно обратными, поэтому их произведение равно 1.

$\frac{11}{20} \cdot \frac{20}{11} = \frac{11 \cdot 20}{20 \cdot 11} = 1$.

Ответ: $\frac{11}{20} < \frac{20}{11}$; произведение равно 1.

3) Сравним дроби $\frac{123}{400}$ и $\frac{400}{123}$.

Дробь $\frac{123}{400}$ является правильной, так как $123 < 400$, а значит $\frac{123}{400} < 1$.

Дробь $\frac{400}{123}$ является неправильной, так как $400 > 123$, а значит $\frac{400}{123} > 1$.

Поэтому $\frac{123}{400} < \frac{400}{123}$.

Найдем произведение этих взаимно обратных дробей.

$\frac{123}{400} \cdot \frac{400}{123} = \frac{123 \cdot 400}{400 \cdot 123} = 1$.

Ответ: $\frac{123}{400} < \frac{400}{123}$; произведение равно 1.