номер 302, страница 111, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

302. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 28, 35 и 70;

2) 18, 24 и 27;

3) 36, 54 и 81,

4) 88, 132 и 264;

5) 25, 75 и 150;

6) 54, 90 и 135.

1) 28, 35 и 70

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел, разложим каждое из них на простые множители:

$28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

$35 = 5 \cdot 7$

$70 = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В наших разложениях встречаются множители 2, 5 и 7. Наибольшая степень для 2 это $2^2$, для 5 это $5^1$, и для 7 это $7^1$.

НОК(28, 35, 70) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Ответ: 140

2) 18, 24 и 27

Разложим числа 18, 24 и 27 на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$24 = 3 \cdot 8 = 2^3 \cdot 3$

$27 = 3 \cdot 9 = 3^3$

Выберем простые множители в их наивысших степенях из всех разложений: $2^3$ и $3^3$.

Перемножим их, чтобы найти НОК:

НОК(18, 24, 27) = $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.

Ответ: 216

3) 36, 54 и 81

Разложим числа 36, 54 и 81 на простые множители:

$36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$81 = 9 \cdot 9 = 3^4$

Выберем простые множители в их наивысших степенях из всех разложений: $2^2$ и $3^4$.

Перемножим их, чтобы найти НОК:

НОК(36, 54, 81) = $2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$.

Ответ: 324

4) 88, 132 и 264

Разложим числа 88, 132 и 264 на простые множители:

$88 = 8 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$

$132 = 12 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$

$264 = 2 \cdot 132 = 2 \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11) = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$

Также можно заметить, что $264$ делится и на 88 ($264 = 3 \cdot 88$), и на 132 ($264 = 2 \cdot 132$). Поскольку 264 кратно двум другим числам, оно и является их наименьшим общим кратным.

Проверим по методу разложения на множители. Выберем простые множители в их наивысших степенях: $2^3$, $3^1$ и $11^1$.

НОК(88, 132, 264) = $2^3 \cdot 3 \cdot 11 = 8 \cdot 3 \cdot 11 = 264$.

Ответ: 264

5) 25, 75 и 150

Разложим числа 25, 75 и 150 на простые множители:

$25 = 5^2$

$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$

$150 = 2 \cdot 75 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Можно заметить, что 150 кратно 75 ($150 = 2 \cdot 75$) и 25 ($150 = 6 \cdot 25$). Следовательно, 150 является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Проверим по методу разложения на множители. Выберем простые множители в их наивысших степенях: $2^1$, $3^1$ и $5^2$.

НОК(25, 75, 150) = $2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$.

Ответ: 150

6) 54, 90 и 135

Разложим числа 54, 90 и 135 на простые множители:

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$90 = 9 \cdot 10 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

$135 = 5 \cdot 27 = 3^3 \cdot 5$

Выберем простые множители в их наивысших степенях из всех разложений: $2^1$, $3^3$ и $5^1$.

Перемножим их, чтобы найти НОК:

НОК(54, 90, 135) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 10 \cdot 27 = 270$.

Ответ: 270