номер 307, страница 112, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

307. Для того чтобы уложить коробочки шириной $\text{5}$ см, длиной $\text{1}$ дм $\text{2}$ см, были изготовлены ящики с квадратным дном. Какой должна быть наименьшая площадь основания ящика, чтобы эти коробочки поместились в ящике вплотную?

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к одной единице измерения. В данном случае удобно использовать сантиметры.

Размеры коробочки:

Ширина = 5 см.

Длина = 1 дм 2 см.

Поскольку 1 дм равен 10 см, переведем длину коробочки в сантиметры: $1 \text{ дм } 2 \text{ см} = 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Таким образом, коробочки имеют размеры основания 5 см × 12 см.

Ящики, в которые укладывают коробочки, имеют квадратное дно. Условие "уложить вплотную" означает, что сторона этого квадратного дна должна быть кратна как ширине (5 см), так и длине (12 см) коробочки. Это позволит разместить коробочки без зазоров и не разрезая их.

Чтобы найти наименьшую площадь основания ящика, нужно найти наименьшую возможную длину стороны этого квадрата. Наименьшая длина стороны будет равна наименьшему общему кратному (НОК) чисел 5 и 12.

Найдем НОК(5, 12).

Разложим числа на простые множители:

Число 5 является простым: $5 = 5$.

Число 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

НОК вычисляется как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях: $НОК(5, 12) = 5 \cdot 2^2 \cdot 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Следовательно, наименьшая возможная сторона квадратного дна ящика равна 60 см.

Теперь найдем наименьшую площадь основания ящика. Так как основание – это квадрат со стороной 60 см, его площадь ($\text{S}$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $\text{a}$ – сторона квадрата.

$S = (60 \text{ см})^2 = 60 \text{ см} \cdot 60 \text{ см} = 3600 \text{ см}^2$.

Ответ: 3600 см².