номер 313, страница 113, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

313o. Саша и Лена измерили одно и то же расстояние в $75$ м, причем $25$ раз их следы совпали. Найдите длину шага Саши, если шаг Лены равен $75$ см.

Для решения задачи сперва приведем все единицы измерения к одной, например, к сантиметрам.

Общее расстояние, которое прошли Саша и Лена, равно $75 \text{ м}$.

$D = 75 \text{ м} = 75 \times 100 \text{ см} = 7500 \text{ см}$.

Длина шага Лены составляет $L_{Л} = 75 \text{ см}$.

Длину шага Саши обозначим как $L_{С}$.

Следы двух людей совпадают в тех точках, расстояние до которых от старта кратно длине шага каждого из них. Первое такое совпадение (после старта) происходит на расстоянии, равном наименьшему общему кратному (НОК) длин их шагов. Последующие совпадения происходят через такие же интервалы.

Из условия известно, что на всей дистанции в $7500 \text{ см}$ следы совпали 25 раз. Это означает, что вся дистанция состоит из 25 равных отрезков, длина каждого из которых равна расстоянию между точками совпадения. Найдем это расстояние:

$ \text{Расстояние между совпадениями} = \frac{\text{Общая дистанция}}{\text{Количество совпадений}} = \frac{7500}{25} = 300 \text{ см} $

Это расстояние и есть наименьшее общее кратное длин шагов Саши и Лены:

$ \text{НОК}(L_{С}, L_{Л}) = 300 \text{ см} $

Подставим известную длину шага Лены:

$ \text{НОК}(L_{С}, 75) = 300 $

Чтобы найти $L_{С}$, воспользуемся методом разложения на простые множители.

Разложим известные числа:

$ 75 = 3 \times 25 = 3^1 \times 5^2 $

$ 300 = 3 \times 100 = 3 \times 4 \times 25 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 $

По определению, НОК содержит каждый простой множитель в наибольшей степени, с которой он входит в разложение каждого из чисел. Пусть $L_{С}$ имеет разложение $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$.

$ \text{НОК}(L_{С}, 75) = 2^{\max(a,0)} \cdot 3^{\max(b,1)} \cdot 5^{\max(c,2)} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 $

Сравнивая показатели степеней, определим возможные значения $a, b, c$:

- Для множителя 2: $\max(a, 0) = 2 \implies a=2$.

- Для множителя 3: $\max(b, 1) = 1 \implies b$ может быть равен 0 или 1.

- Для множителя 5: $\max(c, 2) = 2 \implies c$ может быть равен 0, 1 или 2.

Это дает нам несколько математически возможных вариантов для $L_{С} = 2^2 \cdot 3^b \cdot 5^c = 4 \cdot 3^b \cdot 5^c$:

- $b=0, c=0 \implies L_{С} = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$ см.

- $b=1, c=0 \implies L_{С} = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ см.

- $b=0, c=1 \implies L_{С} = 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$ см.

- $b=1, c=1 \implies L_{С} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ см.

- $b=0, c=2 \implies L_{С} = 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100$ см.

- $b=1, c=2 \implies L_{С} = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$ см.

Теперь необходимо выбрать наиболее реалистичный ответ, исходя из жизненного контекста. Длина шага человека не может быть слишком маленькой или неправдоподобно большой.

- Значения 4 см, 12 см, 20 см слишком малы для шага человека.

- Значение 300 см (3 метра) физически невозможно.

Остаются два правдоподобных варианта: $L_{С} = 60$ см и $L_{С} = 100$ см.

Поскольку шаг Лены равен 75 см, оба варианта кажутся разумными. Однако в школьных задачах такого типа обычно подразумевается один, наиболее типичный ответ. Длина шага в 60 см является более стандартной и распространенной, чем шаг в 1 метр (100 см), который является очень большим. Поэтому наиболее вероятным решением является 60 см.

Ответ: 60 см.