номер 311, страница 113, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

311*. Из двух сцепляющихся шестерен одна имеет 54 зуба, другая - 90 зубьев. До начала движения отмечены (рис. 2.4) два соприкасающихся зуба. Через сколько оборотов первой шестерни будет совпадение отмеченных зубьев?

I II

Рис. 2.4

Для того чтобы отмеченные зубья снова совпали, каждая из шестерен должна совершить целое число оборотов. Это произойдет, когда через точку сцепления пройдет одинаковое для обеих шестерен количество зубьев. Это количество должно быть кратно как числу зубьев первой шестерни ($54$), так и числу зубьев второй шестерни ($90$). Следовательно, нам необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел $54$ и $90$.

Сначала разложим числа $54$ и $90$ на простые множители:

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$90 = 10 \cdot 9 = 2 \cdot 5 \cdot 3^2$

Теперь найдем НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

$НОК(54, 90) = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$.

Это означает, что отмеченные зубья снова совпадут, когда через точку контакта пройдет $270$ зубьев.

Чтобы найти, сколько оборотов сделает первая шестерня, нужно разделить общее количество прошедших зубьев на количество зубьев на первой шестерне:

Количество оборотов первой шестерни = $\frac{270}{54} = 5$.

Для проверки можно найти количество оборотов второй шестерни:

Количество оборотов второй шестерни = $\frac{270}{90} = 3$.

Поскольку оба числа являются целыми, расчет верен. Первая шестерня совершит $\text{5}$ оборотов.

Ответ: $\text{5}$ оборотов.