номер 310, страница 112, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

310. Заполните таблицу:

Допишите равенство:

Для любых натуральных чисел a и b произведение

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = \Box$.

Заполнение таблицы:

Для первой строки (a=6, b=8):

Дано: $a=6$, $b=8$, $a \times b = 48$.

1. Найдём Наибольший Общий Делитель (НОД). Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2^3$

Общий множитель в наименьшей степени - это $2^1$. Следовательно, $НОД(6, 8) = 2$.

2. Найдём Наименьшее Общее Кратноe (НОК). Воспользуемся свойством: $НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)}$.

$НОК(6, 8) = \frac{48}{2} = 24$.

3. Вычислим произведение $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$.

$2 \times 24 = 48$.

Ответ: В ячейку $НОД(a, b)$ вписываем 2. В ячейку $НОК(a, b)$ вписываем 24. В ячейку $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$ вписываем 48.

Для второй строки (a=9, b=12):

Дано: $a=9$, $b=12$, $НОД(a, b) = 3$.

1. Найдём произведение $a \times b$.

$9 \times 12 = 108$.

2. Найдём НОК. $НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)}$.

$НОК(9, 12) = \frac{108}{3} = 36$.

3. Вычислим произведение $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$.

$3 \times 36 = 108$.

Ответ: В ячейку $a \times b$ вписываем 108. В ячейку $НОК(a, b)$ вписываем 36. В ячейку $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$ вписываем 108.

Для третьей строки (a=15, b=18):

Дано: $a=15$, $b=18$, $НОК(a, b) = 90$.

1. Найдём произведение $a \times b$.

$15 \times 18 = 270$.

2. Найдём НОД. $НОД(a, b) = \frac{a \times b}{НОК(a, b)}$.

$НОД(15, 18) = \frac{270}{90} = 3$.

3. Вычислим произведение $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$.

$3 \times 90 = 270$.

Ответ: В ячейку $a \times b$ вписываем 270. В ячейку $НОД(a, b)$ вписываем 3. В ячейку $НОД(a, b) \times НОК(a, b)$ вписываем 270.

Для четвертой строки (a=24, b=60):

Дано: $a=24$, $b=60$, $НОД(a, b) \times НОК(a, b) = 1440$.

1. Найдём произведение $a \times b$.

$24 \times 60 = 1440$.

2. Найдём НОД. Разложим числа на простые множители:

$24 = 2^3 \cdot 3$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Общие множители в наименьших степенях: $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. Следовательно, $НОД(24, 60) = 12$.

3. Найдём НОК. $НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)}$.

$НОК(24, 60) = \frac{1440}{12} = 120$.

Ответ: В ячейку $a \times b$ вписываем 1440. В ячейку $НОД(a, b)$ вписываем 12. В ячейку $НОК(a, b)$ вписываем 120.

Заполненная таблица:

Допишите равенство:

Из заполненной таблицы видно, что для каждой пары натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ значения в столбцах "$a \times b$" и "$НОД(a, b) \times НОК(a, b)$" совпадают. Это иллюстрирует основное свойство НОД и НОК, которое гласит: произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел равно произведению самих этих чисел.

Следовательно, равенство нужно дополнить произведением $a \cdot b$.

Ответ: Для любых натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ произведение $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$.